Редактирование: Maxima graph

{{review
|Title          = Статья-шпаргалка по построению 2D графиков в системе компьютерной математики wxMaxima
|Annotation     = В этой заметке кратко описано построение простых 2-мерных графиков при помощи системы компьютерной алгебры Maxima
|Author         = And
|Tag            = 
|Section        = практика
|Issue          =
}}
{{review-nav
|link=
}}

:Основу системы образуют три стандартные программы: '''maxima''' — математическое ядро с интерфейсом командной строки; '''wxMaxima''' — графический интерфейс пользователя; '''gnuplot''' — мощная утилита для построения научных графиков. Рассмотрим как с ними работать. 

== Команды построения графиков == 

Построение графиков осуществляет команда '''plot2d''' с аргументами в виде списка функций, координат и необязательных опций построения: 
<source lang = matlab>plot2d ([f1, f2], [x, xmin, xmax], [y, ymin, ymax], [опция 1], [опция 2], [и т.д.])</source>

График выводится новом окне средствами утилиты gnuplot. Чтобы построить нескольких графиков внутри документа wxMaxima служит другая команда '''wxplot2d''' с теми же опциями. 

Функции f могут быть: 
*явными выражениями вида f(x);
*зависящими от параметра вида [parametric, x(t), y(t), [t, tmin, tmax]]; 
*дискретным набором точек [discrete, point_list]

== Виды функций и примеры их графиков ==

=== Явная функция в прямоугольных координатах ===
 
Нарисуем графики функций десятичного логарифма, косинуса, тангенса  и кубического корня на отрезке от 0 до 2,5π. 
 <source lang = matlab>
(%i1)
/* Определим десятичный логарифм через натуральный */
log10(x):=log(x)/log(10) $
 
(%i2) 
/* Строим графики  */
plot2d([log10(x), cos(x), tan(x), x^(1/3)], [x, 0, 2.5*%pi], [y, -2, 3]) $
</source>
Результат  показан на  Рис 1А. 
По умолчанию цвета графиков из списка функций  следующие:

1 - синий (blue), 2 - красный (red),  3 - зеленый (green), 4 - пурпурный (magenta), 5 - черный(black), 6 - голубой (cyan).

При большем числе графиков их цвета циклически повторяются.

=== Явная функция в полярных координатах ===

Для построения надо определить связь между полярными радиусом r и углом φ и использовать опцию gnuplot '''set polar'''.
 (%i1)
 r(ph):=sin(4*ph);
 (%i2)
 plot2d([r(ph)],[ph,0,2*%pi],[x,-1,1],[y,-1,1],[gnuplot_preamble,"set polar"]);

Результат  показан на  Рис. 1Б.

[[Файл:Maxima_graph01.png|thumb|left|400px|Рис. 1А]][[Файл:Maxima_graph02.png|thumb|center|400px|Рис. 1Б]]

<br>
'''Кусочно-линейная функция''' может быть задана при помощи оператора '''if then else'''  вида:
 
'''if''' условие1 '''then''' выражение1 '''else''' выражение2

Например построим графики функций [[Файл:Maxima_graph_func.png]] и g(x)=sin(5x)-1;

 (%i1) 
 f(x):= if x<-2 then 8 
 else if x<0 then -x^3 
 else x^3 $
 
 g: sin(5*x)-1 $
 plot2d([g,f],[x,-5,2],[y,-3,10]);

Результат показан на Рис.2А.

'''Функция заданная параметрически''' строится при помощи опции '''parametric'''. 

Построим фигуру Лиссажу внутри окружности. 

Уравнение окружности x=5*cos(t), y=5*sin(t)

Уравнение фигуры x=3*cos(4t), y=3*sin(3t)

 (%i1)
 plot2d([ [parametric,3*cos(4*t),3*sin(3*t),[t,-10,10],[nticks,300]],
         [parametric,5*cos(t),5*sin(t),[t,-%pi,%pi] ]
       ],[x,-8,8], [y,-8,8], [gnuplot_preamble,"set size ratio 1"]) $
Результат показан на Рис.2Б. Здесь использованы две необязательные опции. Первая - '''nticks''' задает число точек графика. Опция программы gnuplot '''set size ratio 1''' устанавливает одинаковые масштабы по осям графика, в противном случае вместо окружности рисуется эллипс.
[[Файл:Maxima_graph03.png|thumb|left|400px|Рис. 2А]][[Файл:Maxima_graph04.png|thumb|center|400px|Рис. 2Б]]

<br>

=== Дискретные функции ===

Для вывода дискретных данных служит опция '''discrete'''. Данные можно задавать либо в виде 2-х отдельных списков аргументов [xi] и значений [yi] ,  либо в виде вложенного списка с координатами точек [xi,yi]

 (%i1) xlist:[1,2,3,4,5,6,7] $  
      ylist:[0,2,2.6,3,2.5,2,1.8] $  
      xy:[[1,-1],[2,1],[3,1.6],[4,2],[5,1.5],[6,1],[7,0.8]] $
 
 (%i2) plot2d([ [discrete,xlist,ylist],[discrete,xy] ],[style,points,linespoints],
 [gnuplot_term, "png size 300,200" ],[gnuplot_out_file,"data.png"]);
[[Файл:Maxima_graph05.png|center|300px]]
Опция '''style''' выбирает строить ли графики в виде линий, точек  или линий с точками.

Опция '''gnuplot_term''' с выбранными параметрами сохраняет изображение в графическеский файл формата png размером 300 на 200 пикселов, '''gnuplot_out_file''' задает имя файла.

== Чтение и запись данных в файл ==

Для записи списка данных в файл служит функция '''write_data'''(список, ''адрес'', разделитель).
Разделителем может быть запятая - '''comma''', вертикальная черта - '''pipe''' , точка с запятой - '''semicolon''' и пробел '''space''' (он принят по умолчанию).  Например команда write_data(xy,"./data.txt") запишет  список координат  точек разделенных пробелами в текстовый файл с именем data.txt в текущий каталог. 

Чтобы получить данные служит функция '''read_nested_list'''(''адрес'', разделитель) 
Она читает файл как список вложенных списков, образованных элементами очередной строки.
Простой список создается командой '''read_list'''.

 (%i3) data:read_nested_list("./data.txt");
 [[1,-1],[2,1],[3,1.6],[4,2],[5,1.5],[6,1],[7,0.8]]
 
 (%i4) single:read_list("./data.txt");
 [1,-1,2,1,3,1.6,4,2,5,1.5,6,1,7,0.8]

Заметим, что если указать формат файла csv (стандартный формат принятый для числовых данных), то разделителем по умолчанию станет запятая, а не пробел.

== Запись графика в файл ==

Для этого надо указать тип графического терминала '''[gnuplot_term, тип ]''' и имя выходного фала '''[gnuplot_out_file, " имя"]'''. Тип может быть либо '''ps''' (формат post script) либо один из графических форматов '''png, jpg''' и т.п. Если не указывать имя выходного файла, то будет применено стандартное имя '''maxplot'''. 

[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "data.eps"] — выводит изображение в формате post script в файл data.eps

[gnuplot_term, jpg] — сохраняет изображение стандартного размера в файл с именем maxplot.jpg

[gnuplot_term, "gif size 400,400" ], [gnuplot_out_file,"data.gif"]) — создает gif файл размером 400 на 400 пискселей.

== Опции оформления ==

=== Надписи и заголовки ===

Название графика задается командой gnuplot внутри опции '''gnupot_preamble'''. Команды gnuplot пишутся внутри общих кавычек  и отделяются друг от друга  точкой с запятой 

[gnuplot_preamble, '''"set title 'имя графика' ; "''']

Названия осей '''[xlabel, "имя для оси x"], [ylabel, "имя для оси у"]'''

Подписи кривых (легенда ) '''[legend, "кривая 1", "кривая 2", "и т. д."]'''

Легенда выводятся в правом верхнем углу, изменить ее положение можно командой gnuplot '''set key''':

set key bottom — внизу

set key top left — вверху слева

set key bottom center outside — внизу по центру за пределами графика

Пара замечаний о  выводе русских надписей  при работе wxMaxima в  ALT Linux.

Кириллические буквы в легенде значительно увеличивают ее размеры, а команда wxplot2d  Maxima не находит шрифт Arial и не отображает русские буквы. Для устранения последней проблемы надо установить в систему шрифты Microsoft, скомандовав в консоли (от имени root): 
 apt-get install fonts-ttf-ms.

'''Шкалы и линии сетки''' можно менять при помощи следующих команд gnuplot [1]:

'''set grid''' — отображает сетку

'''set grid polar df''' — задает радиальную сетку в полярной системе координат, df угол между ее линиями в радианах

'''set xtics  dx; set ytics dy''' — указание шага между основными линиями сетки (по x шаг=dx, по y шаг=dy

'''set border 3; set xtics nomirror''' — убирает отражение оси х сверху

'''set mxtics n'''  — разбивает основные деления шкалы по оси х на n интервалов

'''set size ratio m''' — рисует размер оси y в m раз больше размера оси х

'''set log x; set log y''' — отображает шкалы на оси координат в логарифмическом масштабе

'''Пример.''' Построим графики некоторых специальных функций — интегрального косинуса Ci(x), интегрального синуса Si(x), функции ошибок erf(x)  и дополнительной функции ошибок erfc(x)

 (%i1)
 plot2d([expintegral_ci(x),expintegral_si(x),erf(x),erfc(x)], [x,-6,6], [y,-3,3],[gnuplot_preamble, "set grid;set title 'Графики специальных функций'; 
 set key bottom; set border 3; set xtics nomirror; set ytics nomirror; set mxtics 2;"],
 [xlabel,"Аргумент x"],[ylabel,"Значения y"],[legend,"Ci(x)","Si(x)","erf(x)","erfc(x)"])$

[[Файл:Maxima_graph06.png|center]]

=== Стили графиков ===

Кривые можно строить в виде линий '''lines''', линий с точками '''linespoints''' и точек '''points'''.
Цвета могут задаваться словесно или кодом согласно таблице:
{| border="1" cellpadding="20" cellspacing="0" class=wikitable
|+
|-
|Cиний
|Красный
|Зеленый
|Пурпурный
|Черный
|Голубой
|-
|blue
|red
|green
|magenta
|black
|cyan
|-
|1
|2
|3
|4
|5
|6
|}
Тип точек также может задаваться словесно или кодом:
{| border="1" cellpadding="20" cellspacing="0" class=wikitable
|+
|-
|●
|○
| +
|X
|* 
|■
|□
|▲
|∆
|▼
|&nabla;
|♦
|◊
|-
|bullet
|circle
|plus
|times
|asterisk
|box
|square
|triangle
|delta
|wedge
|nabla
|diamond
|lozenge
|-
|1
|2
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|}

Стиль кривой можно задавать словесно через последовательность опций color, style, point_type

Например: '''[color, red, black]''', '''[style , lines, points]''', '''[point_type, plus]'''

Либо кратко при помощи кодовых параметров.

Линии имеют 2 параметра — толщина, цвет.

У точки 3 параметра  — размер, цвет, тип точки.

У линий с точками 4 параметра — толщина линии, размер точки, цвет, тип точки.

Тот же пример: '''[style, [lines,1,2], [points, 3, 5, 3]]'''

=== Сглаживание графиков ===

При построении графиков в виде линий с точками метки часто расположены слишком густо и кривые получаются «мохнатыми». Это можно исправить подобрав параметры '''nticks''' (задает начальное число точек) и '''adapt_depth''' (число проходов алгоритма сглаживания).

Для примера нарисуем график испускательной способности (мощности излучаемой единицей поверхности в единичном частотном интервале) абсолютно черного тела. r (T,ν)

Согласно формуле Планка:

[[Файл:Plank.png]]

где T - температура, ν - частота, с - скорость света, h - постоянная Планка, k - постоянная Больцмана

 (%i1) /* Физические константы  и формула*/
 k:1.38e-23 $ h:6.6e-34 $ c:3e8 $
 
 r(T,v):=2*%pi*h*v^3/(c^2*(exp(h*v/(k*T))-1));
 
 (%2)plot2d([ r(3e2,v),r(1e3,v),r(6e3,v) ],[v,1e12,1e16],[y,1e-15,1e-6],
 [xlabel,"Частота, Гц"],[ylabel, "r(T,v), Дж/м^2 " ],
 [legend,"T=300K"," T=1000K"," T=6000K"],
 [color,black],[style, linespoints],[point_type,bullet,circle,plus],[nticks,50],[adapt_depth,2],
 [gnuplot_preamble, "set log x;  set log y; set mxtics 10; set grid; set key left; set title 'Испускательная способность абсолютно черного тела';" ]);

[[Файл:Maxima_graph07.png|center]]

По возможности следует избегать расчетов и построений с очень большими или малыми величинами. В противном случае могут возникнуть проблемы с переполнением разрядов. Если в данном примере задать логарифмический масштаб не через опции gnuplot, а напрямую, как [logx], [logy], то Maxima откажется строить график вследствие ошибки переполнения.

== Литература ==

# Е.А. Чичкарев. Компьютерная математика с Maxima. Руководство для школьников и студентов. http://www.altlinux.org/Books:Maxima

#  Записки Дебианщика. http://mydebianblog.blogspot.ru/search/label/гнуплот

__SHOWFACTBOX__
[[Категория:ALT-review-edit]]